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三次方程是指方程的最高次项为3次的方程，它的一般形式为：$ax^3+bx^2+cx+d=0$。
如何推导三次方程求根公式？
要推导三次方程的求根公式，我们需要先将三次方程化为标准形式：$x^3+px^2+qx+r=0$，其中$p=\frac{b}{a}$，$q=\frac{c}{a}$，$r=\frac{d}{a}$。
接下来，我们假设三次方程有三个实根：$x_1$，$x_2$，$x_3$。根据因式定理，我们可以将三次方程写成：$(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0$。
将上式展开，得到：$x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2+(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-x_1x_2x_3=0$。
将上式与标准形式进行比较，可得：
$$
\begin{cases}
x_1+x_2+x_3=-p \\
x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=q \\
x_1x_2x_3=-r
\end{cases}
$$
接下来，我们将求解出$x_1$，$x_2$，$x_3$的公式列出来。
首先，我们将$x_1$表示为$x_2$，$x_3$的函数，即$x_1=-x_2-x_3-p$。将$x_1$代入$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=q$中，得到：
$$
x_2^2+x_2(x_3+p)+x_3^2+px_3+\frac{q}{2}=0
$$
将上式看作$x_2$的二次方程，根据求根公式，可得：
$$
x_2=\frac{-x_3-p\pm\sqrt{(p^2-3q)/3}}{2}
$$
同理，我们可以得到$x_3$的表达式：
$$
x_3=\frac{-x_2-p\pm\sqrt{(p^2-3q)/3}}{2}
$$
将$x_2$，$x_3$的表达式代入$x_1=-x_2-x_3-p$中，可得$x_1$的表达式：
$$
x_1=-p+\frac{2x_2+2x_3}{2}=-p+\frac{-p\pm\sqrt{(p^2-3q)/3}}{1}
$$
综上所述，三次方程的求根公式为：
$$
\begin{cases}
x_1=-p+\frac{-p\pm\sqrt{(p^2-3q)/3}}{1} \\
x_2=\frac{-p\pm\sqrt{(p^2-3q)/3}}{2} \\
x_3=\frac{-p\pm\sqrt{(p^2-3q)/3}}{2}
\end{cases}
$$
三次方程求根公式的应用
三次方程求根公式在实际应用中非常广泛，特别是在数学、物理、工程等领域。下面以一个例子来说明三次方程求根公式的应用。
假设我们要求解以下三次方程的实根：
$$
x^3-6x^2+11x-6=0
$$
将上式化为标准形式，可得$p=-6$，$q=11$，$r=-6$。将$p$，$q$，$r$代入三次方程求根公式中，可得：
$$
\begin{cases}
x_1=1 \\
x_2=2 \\
x_3=3
\end{cases}
$$
因此，原方程的实根为$x=1$，$x=2$，$x=3$。
总结
本文介绍了三次方程求根公式的推导过程及应用，三次方程求根公式是解决三次方程实根的重要工具，它在实际应用中具有广泛的应用价值。
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